www.hbirds.net

調べてみるとサーバーXREAの仕様による問題のようです。
このサイトに詳細がアップされていました。
対策は、/wordpress/wp-admin　に　以下の内容の.htaccessファイルをアップするだけ。

<br /> <files async-upload.php><br /> AddHandler application/x-httpd-phpcgi .php<br /> </files><br />

これで問題なくアップロードできるようになります。

アップロード先は、WPの管理画面の「その他の設定」で「wp-content/uploads」と指定しました。